Linguaggio in matematica
"Indegno per l'uomo eccellente perder tempo come uno schiavo nel lavoro di calcolare, cosa che potrebbe essere relegata senza problemi a qualcun altro se fosse usata una macchina." Wilhelm Gottfried Leibniz nel 1658
L'uso pratico del calcolo non era ancora così pregnante e necessario come nel nostro mondo; per la maggior parte delle attività umane dell'epoca, anche complesse, bastava un'elementare capacità di leggere e scrivere i numeri e di eseguire qualche semplice addizione. Solo tre settori necessitavano dell'estenuante attività aritmetica che lamentava Leibniz : la contabilità delle tesorerie reali, delle banche e dei commercianti; le misurazioni dei terreni e delle proprietà agrarie a scopi politici e fiscali, e , soprattutto , i calcoli astronomici per la determinazione della posizione di pianeti e stelle, necessari alla navigazione.
Nel 1642 l'ingegno di Pascal produsse quella macchina che oggi viene ricordata con il nome di pascalina , un addizionatore a ruote simile a quello di Schickard.
Negli anni '50 del XVII secolo, Leibniz, come altri matematici, venne a conoscenza dell'invenzione di Pascal e forse ebbe anche il modo di vederla personalmente; in ogni caso ne conosceva a grandi linee il meccanismo. Le macchine di Schikcard e di Pascal permettevano , però, solo l'addizione e la sottrazione.
Leibniz affrontò il problema della moltiplicazione. Il suo concetto innovativo fu quello di 'memorizzare' il moltiplicando grazie ad un congegno battezzato 'tamburo a denti scalati' (stepped drum), grazie al quale sarebbe bastato girare ripetutamente una manovella per continuare a sommare un numero a se stesso, senza doverlo riscrivere ogni volta. Con un opportuno accorgimento era anche possibile eseguire moltiplicazioni di due numeri di cifre. L'unico problema che Leibniz non ebbe tempo di risolvere fu quello del meccanismo dei riporti e decise di farne a meno; nella sua macchina, dopo ogni somma alcuni 'segnalatori' indicavano la presenza di riporti 'pendenti', l'operatore doveva quindi aggiungerli ripetendo l'operazione fino a che i segnalatori erano tutti azzerati : certamente non il massimo della praticità .
I documenti che possediamo sembrano far capire che entrambi giunsero indipendentemente alla stessa scoperta. Diamo qui, in una forma molto semplificata, un'idea dei problemi che il calcolo infinitesimale affronta e degli strumenti coi quali li risolve. Il presupposto del calcolo infinitesimale fu l'elaborazione della geometria analitica da parte di Cartesio ( Descartes) , vale a dire della possibilità di tradurre problemi geometrici in problemi algebrici e viceversa.
Sul piano cartesiano, infatti, ogni funzione f(x) = y rappresentata da una curva. Come noto, le funzioni di primo grado sono rappresentati da linee rette, quelli di grado superiore da linee curve. Proprio in relazione a questo secondo caso sorgono due problemi:
come calcolare l'area di una figura delimitata da linee curve? Esaminiamo il caso di una figura curva delimitata dai due assi, da una retta parallela all'asse delle ordinate e da una linea curva di funzione f(x) = y.
Facile immaginare un metodo approssimato per calcolare questa area: basta dividere il grafico in sottili rettangoli verticali e sommarne l'area. E’ evidente che quanto maggiore sarà il numero dei rettangoli, tanto più preciso sarà il calcolo dell'area. Ma come calcolare l'area esatta?
Bisognerebbe dividere la figura in infiniti rettangoli e sommarne le infinitesime aree. ?
Come calcolare il coefficiente angolare della retta tangente ad un dato punto di una linea curva? Anche qui si può pensare ad un sistema approssimato. Si può scegliere nelle vicinanze dell'ascissa data un'altra ascissa, e calcolare le ordinate corrispondenti. Dividendo la differenza delle due ordinate per la differenza delle due ascisse si avrà il coefficiente angolare della retta passante per i due punti così individuati. Non si tratta però di una tangente, perché essa attraversa la linea curva in due punti. Per ottenere il coefficiente della tangente bisognerebbe rendere infinitamente piccola la distanza tra le due ascisse (e di conseguenza tra le due ordinate), e calcolare il quoziente tra due infinitesimi. e' possibile?
Il problema della tangente venne risolto con quello che Leibniz chiamò calcolo differenziale. Con esso viene ricavata dalla funzione data y una funzione dy/dx (rapporto differenziale) . Tale funzione esprime dunque il coefficiente angolare della retta tangente al punto x della funzione originaria.
La situazione e' simile per quanto riguarda il problema dell'area. Il procedimento qui introdotto venne chiamato da Leibniz calcolo integrale. Con esso dalla funzione data y viene ricavata una funzione S (y dx) , in cui il simbolo S e' una esse allungata che simboleggia la somma degli infiniti prodotti degli infinitesimi incrementi dell'ascissa per le ordinate corrispondenti. L'integrale dunque esprime, per ogni valore della funzione originaria, l'area del trapezoide delimitato nel modo prima descritto.
II calcolo newtoniano.
Se gli stessi problemi, tangenti e quadrature, si ritrovano all'origine del calcolo newtoniano, la loro posizione relativa e' sostanzialmente differente. Nell'ambito di una concezione "meccanica" della geometria, Newton considera le variabili come grandezze il cui valore aumenta o diminuisce con continuità (flussioni ).
Come in Leibniz, il ruolo centrale e' giocato dalla regola che consente di trovare la flussione di un prodotto, dalla quale si deducono quella per le potenze, le radici, e quindi, con opportuni artifici, quelle per combinazioni più o meno complesse di queste.
Le analogie matematiche con la formulazione leibniziana sono evidenti: sarà sufficiente sostituire le flussioni x ed y con i differenziali dx e dy per ottenere il metodo di Leibniz per le tangenti, dato che sono identiche le regole di differenziazione nei due casi. Altrettanto evidenti sono d'altra parte le differenze fondazionali : nella formulazione leibniziana il calcolo richiede una vera e propria rivoluzione epistemologica con l'introduzione essenziale di quantità evanescenti; con Newton restiamo invece nell'ambito delle quantità finite: le velocità , la cui definizione rigorosa avrebbe certo condotto verso difficoltà analoghe a quelle insite nella teoria di Leibniz, ma che potevano essere ignorate a causa della familiarità del concetto . Naturalmente anche il calcolo newtoniano deve far uso di quantità infinitesime, in particolare quando si vogliono ricavare le regole di differenziazione delle espressioni composte , ma a differenza di Leibniz, Newton può confinare queste quantità minime ma ingombranti nel retrobottega degli artifici di calcolo, e presentare una vetrina di sole quantità finite e familiari.
In definitiva, la soluzione del problema delle tangenti, che aveva richiesto a Leibniz una certa dose di coraggio intellettuale, si presentava per Newton come una naturale conseguenza dell'interazione dei suoi punti di vista sulla cinematica e sul moto con la geometria algebrica di Cartesio; dunque
in un certo senso priva di un reale carattere di novità .
